-
אקסיומת הבחירה
כל מה שרצית לדעת על אקסיומת הבחירה:אקסיומת הבחירה היא אחת האקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית, שנוסחה לראשונה על ידי ארנסט צרמלו. בניגוד לכל שאר האקסיומות האחרות במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (למעט אולי אקסיומת האינסוף), אקסיומה זו אינה נחשבת 'מובנת מאליה', וניתן לפתח את תורת הקבוצות במידה רבה גם בלעדיה. לאקסיומה יש כמה מסקנות שימושיות ביותר…
-
אקסיומת הבנייה
כל מה שרצית לדעת על אקסיומת הבנייה:אקסיומת הבנייה היא אקסיומה הטוענת, שכל קבוצה היא "בת-בנייה"; או בנוסח המקורי: שמחלקת הקבוצות היא מחלקת-הקבוצות בנות-הבנייה.מגמתה של האקסיומה זו – היא, "למזער-אונטולוגית" את מחלקת הקבוצות – עד למינימום – ולמעשה עד למחלקת-הקבוצות הנוצרת ממערכת אכסיומות צרמלו פרנקל לבדן. מובנה האינטואיטיבי של האקסיומה הוא אפוא, שכל קבוצה יכולה להיבנות…
-
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין
כל מה שרצית לדעת על משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין:משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין בתורת הקבוצות אומר כי אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מקבוצה A לקבוצה B, וקיימת פונקציה חד-חד-ערכית מהקבוצה B לקבוצה A, אז קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מהקבוצה A לקבוצה B, כלומר שתי הקבוצות שקולות – עוצמתן זהה.ניתן לנסח את המשפט בכתיב עוצמות כך: אם | A | ≤ |…
-
מספר הרטוגס
כל מה שרצית לדעת על מספר הרטוגס:במתמטיקה, ובפרט, בתורת הקבוצות האקסיומטית, מספר הרטוגס הוא סוג מסוים של מספר מונה (קרדינלי). פרידריך הרטוגס הוכיח ב-1915 שניתן, באמצעות אקסיומות צרמלו-פרנקל בלבד (כלומר, ללא אקסיומת הבחירה) להראות כי לכל X קיים מונה סדור היטב שאינו קטן יותר מעוצמה של X.אין זה הכרחי שקבוצה מסוימת תהיה סדורה היטב על…
-
משפט טרסקי
כל מה שרצית לדעת על משפט טרסקי:בתורת הקבוצות האקסיומטית, משפט טַרְסְקִי, אותו הוכיח אלפרד טרסקי, מציג טענה השקולה לאקסיומת הבחירה: טרסקי הוכיח שאם מניחים רק את מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל, אז אקסיומת הבחירה נובעת מן הטענה "לכל קבוצה אינסופית A {\displaystyle A} , עוצמתה של המכפלה הקרטזית A × A {\displaystyle \ A\times A}…
-
משפט טיכונוף
כל מה שרצית לדעת על משפט טיכונוף:בטופולוגיה, משפט טיכונוף קובע שאם { ( X i , τ i ) } i ∈ I {\displaystyle \left\{(X_{i},\tau _{i})\right\}_{i\in I}} משפחה של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים, אז גם מרחב המכפלה ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \ \prod _{i\in I}X_{i}} קומפקטי. המשפט נחשב אחד המשפטים החשובים ביותר…
-
עקרון המקסימום של האוסדורף
כל מה שרצית לדעת על עקרון המקסימום של האוסדורף:במתמטיקה, עקרון המקסימום של האוסדורף הוא ניסוח אלטרנטיבי ומוקדם יותר ללמה של צורן, אשר הוכח על ידי פליקס האוסדורף בשנת 1914. על-פי עקרון זה, בכל קבוצה סדורה חלקית, כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית.עקרון המקסימום של האוסדורף הוא אחת מתוך טענות רבות השקולות לאקסיומת הבחירה במסגרת מערכת האקסיומות…
-
משפט ויטלי
כל מה שרצית לדעת על משפט ויטלי:בתורת המידה, משפט ויטלי הוא משפט של המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה ויטלי, הקובע כי לכל קבוצה מדידת לבג ממידה חיובית יש תת-קבוצה לא מדידה. ההוכחה מבוססת על בחירת נציג מכל מחלקה של המספרים הרציונליים, ולפיכך תלויה באקסיומת הבחירה. נלקח מויקיפדיה הגדרות נוספות הקשורות למשפט ויטלי:•משפטים בתורת המידה•הוכחות•פרדוקסים
-
בסיס (אלגברה)
כל מה שרצית לדעת על בסיס (אלגברה):בסיס הוא קבוצת וקטורים במרחב וקטורי בה אפשר להציג כל איבר במרחב כצירוף ליניארי של הקבוצה, באופן יחיד. ניתן להגדירו באופן שקול בכמה צורות:בסיס הוא קבוצה פורשת בלתי תלויה ליניארית.בסיס הוא קבוצה פורשת מינימלית, כלומר כזו שאם מסירים ממנה ולו וקטור אחד, היא כבר אינה פורשת.בסיס הוא קבוצה בלתי…
-
בעיית תרבוע העיגול של טרסקי
כל מה שרצית לדעת על בעיית תרבוע העיגול של טרסקי:בעיית תַּרְבּוּעַ העיגול של טרסקי היא בעיה שהציג המתמטיקאי אלפרד טרסקי בשנת 1925, ובה דרישה לפרק עיגול נתון למספר סופי של חתיכות, שמהם יורכב ריבוע ששטחו שווה לשטח העיגול. בשנת 1990 הוכיח מיקלוש לצקוביץ שלבעיה יש פתרון. הוכחתו עושה שימוש נרחב באקסיומת הבחירה ולכן אינה קונסטרוקטיבית.…